Загадката на Монти Хол
„Тайната на Монти Хол“ е известен проблем на вероятностната теория, който поставя участниците в едно шоу, наречено „Да направим сделка“ (все още сключваме сделка), все още популярни в няколко страни, премиери през 1963 г. в САЩ. (Спомням си, че всеки път, когато гледах това шоу като дете, когато не бях ходил на училище поради болест.) Във въведението към книгата вече посочих, че в тази игра може да бъде интересно за статистиците. В края на всяко издание участникът, който стигна до финала, стоеше с Monty Hall пред три големи врати: Door 1, Door 2 и Door 3. Monty Hall обясни на финалиста, че една от тези врати крие много ценна награда - например Нова кола, а след две други - коза. Финалистът трябваше да избере една от вратите и да получи това, което беше зад него. (Не знам дали имаше поне един човек в шоуто, който искаше да получи коза, но за простота ще предположим, че по-голямата част от участниците мечтаеха за нова кола.)
Първоначалната вероятност за спечелване е доста проста за определяне. Има три врати, зад две е коза, а зад третата е кола. Когато участник в шоуто с „Монти Хол“ стои пред тези врати, той има един шанс от три да избере вратата, зад която има кола. Но, както бе отбелязано по-горе, в „Да направим сделка“ има улов, който утвърждава това телевизионно шоу и неговия водещ в литературата по теория на вероятностите. След като финалистът покаже една от трите врати, Монти Хол отваря една от двете останали врати, зад които винаги има коза. Тогава Монти Хол пита финалиста дали иска да промени мнението си, т.е. да се откаже от предишната затворена врата в полза на друга затворена врата.
Да предположим, за пример, че участникът посочи „Врата №1“. Тогава „Монти Хол“ отвори врата № 3, зад която стоеше коза. Две врати, номер на врата 1 и номер 2, остават затворени. Ако ценната награда беше зад Врата № 1, финалистът щеше да го спечели, а ако беше зад Врата № 2, щеше да загуби. Именно в този момент Монти Хол адресира играча с въпроса дали иска да промени първоначалния си избор (в този случай, изостави Врата № 1 в полза на Врата № 2). Разбира се, помниш, че и двете врати са все още затворени. Единствената нова информация, която участникът получи, беше, че козата се оказа една от двете врати, които той не е избрал.
Трябва ли финалистът да отхвърли първоначалния избор в полза на Врата № 2?
Аз отговарям: да, трябва. Ако той се придържа към първоначалния избор, тогава вероятността да ги спечели ценна награда ще бъде ⅓; ако промени мнението си и сочи към Врата № 2, тогава вероятността да спечели ценна награда ще бъде. Ако не ми вярвате, прочетете.
Признавам, че такъв отговор далеч не е очевиден на пръв поглед. Изглежда, че от двете останали врати, които финалистът избере, вероятността за получаване на ценна награда и в двата случая е. Има три затворени врати. Първоначално вероятността ценната награда да се скрие зад всяка от тях е. Дали решението на финалиста да промени избора си в полза на друга затворена врата има някакво значение?
Разбира се, защото приказката е, че Монти Хол знае какво стои зад всяка врата. Ако финалистът избере Врата № 1 и там наистина има кола, Монти Хол може да отвори или Врата № 2 или Врата № 3, за да покаже, че козата се крие зад него.
Ако финалистът избере Врата № 1, а колата е зад Врата № 2, Монти Хол ще отвори Врата № 3.
Ако финалистът посочи вратата № 1, а колата е извън вратата № 3, Monty Hall ще отвори вратата №2.
Променяйки решението си след като лидерът отвори една от вратите, финалистът получава предимството да избере две врати вместо една. Ще се опитам да ви убедя в правилността на този анализ по три различни начина.
Първият е емпиричен. През 2008 г. журналистът "Ню Йорк Таймс" Джон Тайнери написа историята за "феномена на Монти Хол". След това персоналът на изданието разработи интерактивна програма, която ви позволява да играете тази игра и да решите сами дали да промените първоначалния си избор или не. (Програмата дори осигурява малки кози и автомобилчики, които се появяват зад вратата.) Програмата улавя печалбите ви в случай, когато промените първоначалния си избор, а в случая, когато останете неубедени. Платих на една от дъщерите си да играе тази игра 100 пъти, променяйки първоначалния избор всеки път. Платих също брат й да играе играта 100 пъти, всеки път когато оставяше първоначалното решение. Дъщерята спечели 72 пъти; брат й - 33 пъти. Усилията на всеки от тях бяха възнаградени с два долара.
Данните от епизодите на играта Да направим сделка показват същия модел. Според Леонард Млодинов, авторът на "Пясъчната разходка", тези на финалистите, които промениха първоначалния си избор, станаха победители около два пъти по-често от онези, които останаха неубедителни.
Второто ми обяснение на този феномен се основава на интуицията. Да предположим, че правилата на играта са леко променени. Например, финалистът започва с избор на една от трите врати: Врата № 1, Врата № 2 и Врата № 3, както е предвидено първоначално. Но тогава, преди да отвори някоя от вратите, зад които се крие козата, Монти Хол пита: „Съгласни ли сте да се откажете от избора си в замяна на отварянето на останалите две врати? преминете решението си в полза на Врата № 2 и врата № 3. Ако за пръв път посочихте Врата № 3, можете да изберете Врата № 1 и Врата № 2. И така нататък.
За вас това не би било особено трудно решение: ясно е, че трябва да се откажете от първоначалния избор в полза на останалите две врати, тъй като това увеличава шансовете за спечелване от до ⅔. Най-интересното е, че точно това е опцията, която Monty Hall ви предлага в истинска игра, след като отвори вратата, зад която се крие козата. Основният факт е, че ако имате възможност да изберете две врати, зад един от тях, във всеки случай, ще има коза. Когато Монти Хол отваря вратата, зад която козата е, и едва тогава ви пита дали сте съгласни да промените първоначалния си избор, това значително увеличава шансовете ви да спечелите ценна награда! Всъщност Монти Хол ви казва: „Вероятността ценна награда да се скрие зад една от двете врати, които не сте избрали за първи път, е ⅔, което е още повече от!“
Може да си представим така. Да предположим, че сте посочили Врата № 1. След това, Монти Хол ви дава възможност да откажете първоначалното решение в полза на Врата № 2 и врата № 3. Вие се съгласявате и имате две врати на ваше разположение, което означава, че имате всички причини очаквайте да спечелите ценна награда с вероятност ⅔, а не ⅓. И какво щеше да се случи, ако в този момент Монти Хол бе отворил врата № 3 - една от „твоите“ врати, а зад него щеше да има коза? Ще бъде ли този факт разклатен от вашето доверие в взетото решение? Разбира се, че не. Ако колата се криеше зад вратата номер 3, Монти Хол ще отвори вратата номер 2! Той нямаше да ви покаже нищо.
Когато играта е върху миниатюрата, Monty Hall наистина ви дава възможност да избирате между вратата, която сте посочили в началото, и двете останали врати, едната от които може да има кола. Когато Монти Хол отваря вратата, зад която се крие козата, той просто ви дава учтивост, показвайки коя от другите две врати няма. Имате едни и същи вероятности за печалба и в двата сценария по-долу.
- Избирайки Врата № 1, след това се съгласявате да “превключите” на Врата № 2 и Врата № 3, преди да се отвори вратата.
- Избирайки Врата № 1, след което се съгласявате да превключите към Врата № 2, след като Монти Хол ви покаже козата за Врата № 3 (или изберете Врата № 3, след като Монти Хол ви показва козата, Врата № 2)
И в двата случая, отказването от първоначалното решение ви дава предимството на две врати в сравнение с едно, и по този начин можете да удвоите шансовете си да спечелите: от до.
Третият ми вариант е по-радикална версия на същата основна интуиция. Да предположим, че Monty Hall ви предлага да изберете една от 100 врати (вместо една от трите). След като направите това, да кажете, че сочи към врата № 47, той отваря останалите 98 врати, зад които са козите. Сега само две врати остават затворени: вашата врата № 47 и още една, например врата № 61. Трябва ли да откажете първоначалния си избор?
Разбира се, че! С вероятност от 99%, колата е зад една от вратите, които първоначално не сте избрали. Монти Хол ти направи услуга, като отвори 98 от тези врати, зад тях нямаше кола. По този начин, има само 1 от 100 шанса, че първоначалният ви избор (Door No. 47) ще бъде правилен. В същото време има 99 от 100 шанса, че първоначалният ви избор е грешен. И ако е така, тогава колата е зад оставащата врата, т.е. врата № 61. Ако искате да играете с вероятност да спечелите в 99 случая от 100, тогава трябва да „преминете” към врата № 61.
Накратко, ако някога трябва да участвате в играта Да направим сделка, със сигурност трябва да се откажете от първоначалното си решение, когато Monty Hall (или който го замени) ви дава избор. По-универсален извод от този пример е, че вашите интуитивни предположения за вероятността от поява на определени събития понякога могат да ви подведат.
"Гола статистика" от Чарлз Уилън
Купи на Litres.ru
